Ce papier traite du calcul d'un automate (fini) à partir d'une expression rationnelle (ie régulière) et présente une généralisation des dérivées partielles d'expressions rationnelles, dues à Antimirov, aux expressions avec multiplicité.
On définit d'abord précisément ce que sont les expressions rationnelles avec multiplicité et quelles hypothèses doivent être prises sur le semi-anneau des coefficients pour que les identités classiques soient préservées.
On définit ensuite la dérivée d'une telle expression comme une combinaison linéaire d'expressions appelées termes dérivés et nous montrons que toutes les dérivées sont engendrées par un nombre fini de termes dérivés. Ces termes dérivés sont alors pris comme états d'un automate avec multiplicité dont le comportement est la série dénotée par l'expression. On montre que cet automate est un quotient de l'automate standard (dit aussi ``de Glushkov'') de l'expression. On termine avec une discussion sur différentes variantes possible de la notion de dérivation.
This paper addresses the problem of turning a rational (ie regular) expression into a finite automaton. We formalize and generalize the idea of ``partial derivatives'' introduced in~1995 by V. Antimirov, in order to obtain a construction of an automaton with multiplicity from a rational expression describing a formal power series with coefficients in a semiring.
We first define precisely what is such a rational expression with multiplicity and which hypothesis should be put on the semiring of coefficients in order to keep the usual identities.
We then define the derivative of such a rational expression as a linear combination of expressions called derived terms and we show that all derivatives of a given expression are generated by a finite set of derived terms, that yields a finite automaton with multiplicity whose behaviour is the series denoted by the expression. We also prove that this automaton is a quotient of the standard (or Glushkov) automaton of the expression. Finally, we propose and discuss some possible modifications to our definition of derivation.